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拉格朗日插值多项式的原理介绍及其应用

2018-01-11 17:53 出处:清屏网 人气: 评论(0

插值,不论在数学中的数值分析中,还是在我们实际生产生活中,都不难发现它的身影,比如造船业和飞机制造业中的三次样条曲线。那么,什么是插值呢?我们可以先看一下插值的定义,如下:

定义 )如果对于每个 \(1 \leq i \leq n,P(x_{i})=y_{i}\) ,则称函数 \(y=P(x)\) 插值数据点 \((x_{1},y_{1}),...,(x_{n},y_{n})\) .

插值的定义无疑是清楚明了的,而在众多的数学函数中,多项式无疑是最简单,最常见的函数,关于它的理论研究也最为透彻。因此,我们可以不妨先考虑利用多项式来进行插值。那么,这样的多项式是否总是存在呢?答案是肯定的,因为我们有如下定理:

多项式插值定理 )令 \((x_{1},y_{1}),...,(x_{n},y_{n})\) 是平面中的 \(n\) 个点,各 \(x_{i}\) 互不相同。则有且仅有一个 \(n-1\) 次或者更低的多项式 \(P\) 满足 \(P(x_{i})=y_{i},i=1,2,...,n.\)

证明:先用归纳法证明存在性,再证明唯一性。

\(n=1\) 时,常函数(0次) \(P_{1}(x)=x_{1}\) 即符合要求。假设当 \(n-1\) 时存在一个次数 \(\leq n-2\) 的多项式 \(P_{n-1}\) ,使得 \(P_{n-1}(x_{i})=y_{i},i=1,2,...,n-1.\) 则令 \(P_{n}(x)=P_{n-1}(x)+c(x-x_{1})(x-x_{2})...(x-x_{n-1})(x-x_{n})\) ,其中 \(c\) 为待定系数,利用 \(P_{n}(x_{n})=y_{n}\) 即可求出待定系数 \(c\) .此时, \(P_{n}(x_{i})=y_{i},i=1,2,...,n,\)\(P_{n}(x)\) 的次数 \(\leq n-1\) .这样就证明了存在性。

其次证明唯一性。假设存在两个这样的多项式,设为 \(P(x)\)\(Q(x)\) ,它们次数 \(\leq n-1\) 且都插值经过 \(n\) 个点,即 \(P(x_{i})=Q(x_{i})=y_{i},i=1,2,...,n.\)\(H(x)=P(x)-Q(x)\) , \(H\) 的次数也 \(\leq n-1\) ,且有 \(n\) 个不同的根 \(x_{1},x_{2},...,x_{n}\) .因此,由多项式基本定理可知, \(H(x)\) 为0多项式,即恒等于0,故有 \(P(x)=Q(x)\) .这样就证明了存在性。

证毕。

有了以上定理,我们可以放心地使用多项式进行插值,同时,通过上述定理,我们可以用归纳法来构造此多项式,但是,这样的方法难免复杂麻烦。于是,天才的法国数学家拉格朗日(Lagrange)创造性地发明了一种实用的插值多项式方法来解决这个问题,那么,他的方法是怎么样的?

一般来说,如果我们有 \(n\) 个点 \((x_{1},y_{1}),...,(x_{n},y_{n})\) ,各 \(x_{i}\) 互不相同。对于1到n之间的每个 \(k\) ,定义 \(n-1\) 次多项式

\[L_{k}(x) = \frac{(x-x_{1})..(x-x_{k-1})(x-x_{k+1})...(x-x_{n})}{(x_{k}-x_{1})..(x_{k}-x_{k-1})(x_{k}-x_{k+1})...(x_{k}-x_{n})}\]

\(L_{k}(x)\) 具有有趣的性质: \(L_{k}(x_{k})=1,L_{k}(x_{j})=0,j\neq k.\) 然后定义一个 \(n-1\) 次多项式

\[P_{n-1}(x)=y_{1}L_{1}(x)+...+y_{n}L_{n}(x).\]

这样的多项式 \(P_{n-1}(x)\) 满足 \(P_{n-1}(x_{i})=y_{i},i=1,2,...,n.\) 这就是著名的拉格朗日插值多项式!

以上就是拉格朗日插值多项式的理论介绍部分,接下来我们就要用Python中的Sympy模块来实现拉格朗日插值多项式啦~~

实现拉格朗日插值多项式的Python代码如下:

from sympy import *

def Lagrange_interpolation(keys, values):
    x = symbols('x')
    t = len(keys)
    ploy = []
    for i in range(t):
        lst = ['((x-'+str(_)+')/('+str(keys[i])+'-'+str(_)+'))' for _ in keys if _ != keys[i]]
        item = '*'.join(lst)
        ploy.append(str(values[i])+'*'+item)
    ploy = '+'.join(ploy)
    
    return factor(expand(ploy))

def main():
    #example 1, interpolation a line 
    x_1 = [1,2]
    y_1 = [3,5]
    if len(x_1) != len(y_1):
        print('The lengths of two list are not equal!')
    else:
        print('Lagrange_interpolation polynomials is:')
        print(Lagrange_interpolation(x_1,y_1))
    
    #example 2, interpolation a parabola
    x_2 = [0,2,3]
    y_2 = [1,2,4]
    if len(x_2) != len(y_2):
        print('The lengths of two list are not equal!')
    else:
        print('Lagrange_interpolation polynomials is:')
        print(Lagrange_interpolation(x_2,y_2))
    
    #example 3
    x_2 = [0,1,2,3]
    y_2 = [2,1,0,-1]
    if len(x_2) != len(y_2):
        print('The lengths of two list are not equal!')
    else:
        print('Lagrange_interpolation polynomials is:')
        print(Lagrange_interpolation(x_2,y_2))
        
main()

函数Lagrange_interpolation()具体实现了拉格朗日插值多项式,参数(keys, values)为list形式的点对,在main()函数中举了三个Lagrange_interpolation()函数的应用实例,一个是插值两个点,即直线,一个是插值三个点,即抛物线,一个是插值四个点,但结果却是一次多项式。该程序的运行结果如下:

接下来,我们将介绍一个拉格朗日插值多项式的应用,即求

\[1^{k}+2^{k}+...+x^{k}\]

的求和公式,其中 \(x,k\) 为正整数。分析如下:

首先,该求和公式应当是一个至多为k+1次的关于 \(x\) 的多项式。然后,我们可以通过取k+2个不同的点,利用拉格朗日插值多项式的办法来求解,这k+2个不同的点的横坐标可以取 \(x=1,2,...,k+2\) ,在求出其对应的纵坐标的值。

以下代码分别求出

\(k=1,2,...,50\)

的求和公式,并将其插入到Redis中。

from sympy import *
import redis

def Lagrange_interpolation(keys, values):
    x = symbols('x')
    t = len(keys)
    ploy = []
    for i in range(t):
        lst = ['((x-'+str(_)+')/('+str(keys[i])+'-'+str(_)+'))' for _ in keys if _ != keys[i]]
        item = '*'.join(lst)
        ploy.append(str(values[i])+'*'+item)
    ploy = '+'.join(ploy)
    
    return factor(expand(ploy))

def degree_of_sum(k):
    x_list, y_list = [], []
    degree = k    # degree=k in expression of  1^k+2^k+...+x^{k}
    cul_sum = 0
    for i in range(1,degree+3):
        x_list.append(i)
        cul_sum += i**degree
        y_list.append(cul_sum)
    return Lagrange_interpolation(x_list,y_list)

def main(): 
    r = redis.Redis(host='localhost', port=6379,db=0)
    for k in range(1,51):
        expression = str(degree_of_sum(k))
        r.hset('sum_%s'%k,'degree',str(k))
        r.hset('sum_%s'%k,'expression',expression)
        print('Degree of %d inserted!'%k)

main()

运行以上程序,结果如下:

在Redis中的储存结果如下:

我们可以具体查看当 \(k=2\) 时的求和公式,如下:

这样我们就介绍完了一个拉格朗日插值多项式的应用了。看了上面的介绍,聪明又机智的你是否能想到更多拉格朗日插值多项式的应用呢?欢迎大家交流哦~~

新的一年,新的气象,就从这一篇开始~~

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本文标签: SymPy数学Redis

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